Question

已知R上的不间断函数g（x）满足：①当x＞0时，g′（x）＞0恒成立；②对任意的x∈R都有g（x）=g（-x）．又函数f（x）满足：对任意的x∈R，都有f(

3

+x)=-f(x)成立，当x∈[0，

3

]时，f（x）=x³-3x．若关于x的不等式g[f（x）]≤g（a²-a+2）对x∈[-3，3]恒成立，则a的取值范围（　　）

A．a≤0或a≥1

B．0≤a≤1

C．-1≤a≤1

D．a∈R

Answer 1

分析：由于函数g（x）满足：①当x＞0时，g'（x）＞0恒成立（g'（x）为函数g（x）的导函数）；②对任意x∈R都有g（x）=g（-x），这说明函数g（x）为R上的偶函数且在[0，+∞）上为单调递增函数，且有g|（x|）=g（x），所以g[f（x）]≤g（a²-a+2）?|f（x）|≤|a²-a+2|对x∈[-3，3]恒成立，只要使得|f（x）|在定义域内的最大值小于等于|a²-a+2|的最小值，然后解出即可．

解答：解：因为函数g（x）满足：当x＞0时，g'（x）＞0恒成立，
且对任意x∈R都有g（x）=g（-x），
则函数g（x）为R上的偶函数且在[0，+∞）上为单调递增函数，
且有g|（x|）=g（x），
所以g[f（x）]≤g（a²-a+2）在R上恒成立，
∴|f（x）|≤|a²-a+2|对x∈[-3，3]恒成立，
只要使得定义域内|f（x）|_max≤|a²-a+2|，
由于当x∈[-

3

，

3

]时，f（x）=

-x3-3 3 x2-6x，x∈[- 3 ，0] x3-3x，x∈[0， 3 ]

，
当x∈[-

3

，0]时，令f′（x）=-3x2-6

3

x-6=0，得x=1-

3

或x=1+

3

（舍去）
∴f（x）在[-

3

，1-

3

]上单调递增，在[1-

3

，0]上单调递减，
∴f(x)max=f(1-

3

)=2，f(x)min=f(-

3

)=f(0)=0，
当x∈[0，

3

]时，f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）=0，得x=1或x=-1（舍去），
∴f（x）在[0，1]上单调递减，在[1，

3

]上单调递增，
∴f（x）_min=f（1）=-2，f(x)max=f(0)=f(

3

)=0，
又由于对任意的x∈R都有f（ 

3

+x）=-f（x），
∴f（2

3

+x）=-f（

3

+x）=f（x）成立，则函数f（x）为周期函数且周期为T=2

3

，
所以函数f（x）在x∈[-3，3]的最大值为2，所以令2≤|a²-a+2|解得：a≥1或a≤0．
故选A

点评：此题考查了利用导函数求得函数在定义域上为单调递增函数，还考查了函数的周期的定义，及利用周期可以求得当x∈[-

3

，

3

]时，f（x）=x³-3x，的值域为[-2，2]，还考查了函数恒成立．