Question

已知R上的不间断函数g（x）满足：①当x＞0时，g'（x）＞0恒成立；②对任意的x∈R都有g（x）=g（-x）．又函数f（x）满足：对任意的x∈R，都有f(

3

+x)=-f(x)成立，当x∈[0，

3

]时，f（x）=x³-3x．若关于x的不等式g[f（x）]≤g（a²-a+2）对x∈[-3，3]恒成立，则a的取值范围

a≥1或a≤0．

．

Answer 1

分析：由函数g（x）满足：①当x＞0时，g'（x）＞0恒成立；②对任意x∈R都有g（x）=g（-x），说明函数g（x）为R上的偶函数且在[0，+∞）上为单调递增函数，且有g|（x|）=g（x），所以g[f（x）]≤g（a2-a+2）?|f（x）|≤|a²-a+2|对x∈[-3，3]恒成立，只要使得|f（x）|_max≤|a²-a+2|_min，然后解此不等式即可．

解答：解：因为函数g（x）满足：当x＞0时，g'（x）＞0恒成立，且对任意x∈R都有g（x）=g（-x），
∴函数g（x）为R上的偶函数且在[0，+∞）上为单调递增函数，且有g|（x|）=g（x），
∴g[f（x）]≤g（a²-a+2）在R上恒成立，
∴|f（x）|≤|a²-a+2|对x∈[-

3

2

-2

3

，

3

2

-2

3

]恒成立，
只要使得定义域内|f（x）|max≤|a²-a+2|min，
由于当x∈[-3，3]时，f（x）=x³-3x，
求导得：f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
该函数过点（-3，0），（0，0），（ 3，0），且函数在x=-1处取得极大值f（-1）=2，在x=1处取得极小值f（1）=-2，
又由于对任意的x∈R都有f（

3

+x）=-f（x），
∴f（2

3

+x）=-f（

3

+x）=f（x）成立，则函数f（x）为周期函数且周期为T=2

3

，
所以函数f（x）在x∈[-

3

2

-2

3

，

3

2

-2

3

]的最大值为2，所以令2≤|a²-a+2|
解得：a≥1或a≤0．
故答案为：a≥1或a≤0．

点评：此题考查了利用导函数求得函数在定义域上为单调递增函数，还考查了函数的周期的定义，及利用周期可以求得当x∈[-

3

，

3

]时，f（x）=x³-3x，的值域为[-2，2]，还考查了函数恒成立．