Question

等差数列{a_n} 中，a₁=1，前n项和S_n满足条件

S2n

Sn

=4，n=1，2，…，
（Ⅰ）求数列{a_n} 的通项公式和S_n；
（Ⅱ）记b_n=a_n•2^n-1，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接由

S2n

Sn

=4得

a1+a2

a1

=4，求出第二项以及公差；即可求出其通项公式以及S_n；
（Ⅱ）直接利用上面的结论求出数列{b_n}的通项公式，再利用错位相减法即可求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，
由

S2n

Sn

=4得

a1+a2

a1

=4，
所以a₂=3a₁=3且d=a₂-a₁=2，
所以a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，
Sn=

n(a1+an)

2

=

n(1+2n-1)

2

=n2
（Ⅱ）由b_n=a_n•2^n-1，得b_n=（2n-1）•2^n-1．
所以T_n=1+3•2¹+5•2²+…+（2n-1）•2^n-1       ①
2T_n=2+3•2²+5•2³+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ     ②
①-②得：-T_n=1+2•2+2•2²+…+2•2^n-1-（2n-1）•2ⁿ
=2（1+2+2²+…+2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ-1
=2×

1×(1-2n)

1-2

-（2n-1）•2ⁿ-1
=2ⁿ•（3-2n）-3．
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ+3．

点评：本题主要考查数列求和的错位相减，错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．此方法是数列求和部分高考考查的重点及热点．