Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的离心率为

6

3

，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx-2与椭圆C交与A，B两点，点P（0，1），且|PA|=|PB|，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆的定义首先求得椭圆的短半轴，进而根据离心率求得椭圆的半焦距，根a，b和c的关系求得b，则椭圆方程可得．
（2）把直线方程与椭圆方程联立消去y，根据直线与椭圆的两个交点判断出判别式大于0，求得k的范围，设A，B的坐标，则根据韦达定理求得x₁+x₂，x₁x₂的表达式，根据直线方程求得y₁+y₂的表达式，进而可表示出AB中点的坐标，根据|PA|=|PB|推断出PE⊥AB，可知k_PE•k_AB=-1，求得k，则直线方程可求得．

解答：解：（Ⅰ）由已知2a=6，

c

a

=

6

3

，
解得a=3，c=

6

，
所以b²=a²-c²=3，
所以椭圆C的方程为

x2

9

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）由

x2 9 + y2 3 =1 y=kx-2

得，（1+3k²）x²-12kx+3=0，
直线与椭圆有两个不同的交点，所以△=144k²-12（1+3k²）＞0，
解得k2＞

1

9

．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=

12k

1+3k2

，x1x2=

3

1+3k2

，
计算y1+y2=k(x1+x2)-4=k•

12k

1+3k2

-4=-

4

1+3k2

，
所以，A，B中点坐标为E(

6k

1+3k2

，-

2

1+3k2

)，
因为|PA|=|PB|，所以PE⊥AB，k_PE•k_AB=-1，
所以

- 2 1+3k2 -1

6k 1+3k2

•k=-1，
解得k=±1，
经检验，符合题意，
所以直线l的方程为x-y-2=0或x+y+2=0．

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和直线与椭圆的关系．涉及直线与圆锥曲线关系时，常需要把直线方程与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理来解决问题．