Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）和⊙M：x²+y²+8x-12=0，过抛物线C上一点P（x，y）（y≥0）作两条直线与⊙M相切与A、B两点，圆心M到抛物线准线的距离为．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）当P点坐标为（2，2）时，求直线AB的方程；
（Ⅲ）设切线PA与PB的斜率分别为k₁，k₂，且k₁•k₂₌，求点P（x，y）的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用抛物线的定义即可得出；
（Ⅱ）利用两圆的根轴即可得出；
（Ⅲ）利用直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式即可得出．
解答：解：（Ⅰ）由⊙M：x²+y²-8x+12=0，配方得（x-4）²+y²=4，∴圆心M（4，0），半径r=2．
由题意知：，解得p=1，
∴抛物线C的方程为y²=2x．     
（Ⅱ）设P（2，2），∵P，A，B，M四点共圆，∴此圆的方程为：（x-4）（x-2）+（y-2）（y-0）=0，①
又⊙M：x²-8x+y²+12=0，②
又由①-②得直线AB的方程：x-y-2=0．                        
（Ⅲ）设过P的直线l方程为y-y=k（x-x），由于⊙M与直线l相切，得到，
整理得到：，
∴，即，∴x=2或10，
经检验得点P坐标为．
点评：熟练掌握抛物线的定义、两圆的根轴的性质、直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式是解题的关键．