Question

在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是线段A₁C₁的中点，AC∩BD=F．
（Ⅰ）求证：CE⊥BD；
（Ⅱ）求证：CE∥平面A₁BD；
（Ⅲ）求三棱锥D-A₁BC的体积．

Answer 1

分析：（I）由已知中正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BD与AC为底面正方形的对角线，互相垂直，结合正方体性质，我们结合线面垂直的判定定理得到BD⊥平面ACC₁A₁，进而得到CE⊥BD；
（Ⅱ） 连接A₁F，我们易证明A₁F∥CE，进而结合线面平行的判定定理，我们易得到CE∥平面A₁BD；
（Ⅲ） 由三棱锥D-A₁BC的体积等于三棱锥A₁-DBC的体积，我们分别计算出棱锥的高及三角形DBC的面积，代入棱锥体积公式即可得到答案．

解答：证明：（Ⅰ）根据正方体的性质BD⊥AC，
因为AA₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以BD⊥AA₁，又AC∩AA₁=A
所以BD⊥平面ACC₁A₁，CE?平面ACC₁A₁，所以CE⊥BD；
（Ⅱ）连接A₁F，
因为AA₁∥BB₁∥CC₁，AA₁=BB₁=CC₁，
所以ACC₁A₁为平行四边形，因此A₁C₁∥AC，A₁C₁=AC
由于E是线段A₁C₁的中点，所以CE∥FA₁，因为FA₁?面A₁BD，CE?平面A₁BD，
所以CE∥平面A₁BD
（Ⅲ）VD-A1BC=VA1-BCD=

1

3

•S△BCD•A1A=

a3

6

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，棱锥的体积及直线与平面垂直的判定与性质，熟练掌握空间中直线与平面位置关系的判定方法、性质、定义是解答此类问题的关键．