Question

在正三棱锥P-ABC（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，AB=4，PA=8，过A作与PB，PC分别交于D和E的截面，则截面△ADE的周长的最小值是（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12

Answer 1

【答案】分析：利用正三棱锥P-ABC的侧面展开图，即可将求△ADE的周长的最小值问题转化为求展开图中线段的长的问题，进而在三角形中利用解三角形的知识计算即可
解答：解：此正三棱锥的侧面展开图如图：则△ADE的周长为AD+DE+EA′，由于两点之间线段最短，
∴当D、E处于如图位置时，截面△ADE的周长最小，即为AA′的长
设∠APB=α，过P作PO⊥AA′，则O为AA′中点，∠APO=，
在等腰三角形PAB中，sin==，cos=
∴cosα=1-2sin²=，sinα=2sin•cos=
∴sin=sin（α+）=sinαcos+cosαsin=×+×=
∴AA′=2AO=2AP×sin=16×=11
故选C
点评：本题考查了利用几何体的侧面展开图求截面周长最值的方法，利用三角变换公式解三角形的技巧，空间问题转化为平面问题的思想方法