Question

已知双曲线C：

x2

2

-y2 =1．
（1）求双曲线C的渐近线方程；
（2）已知点M的坐标为（0，1）．设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点，记λ=

MP

•

MQ

．求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令双曲线方程的右边为0，化简即可得到双曲线的渐近线方程；
（2）用坐标表示向量，利用向量的数量积建立函数关系式，根据双曲线的范围，可求得λ的取值范围．

解答：解：（1）由双曲线C：

x2

2

-y2 =1．
可得

x2

2

-y2 =0
解得所求渐近线方程为y-

2

2

x=0， y+

2

2

x=0
（2）设P的坐标为（x₀，y₀），则Q的坐标为（-x₀，-y₀），
∴λ=

MP

•

MQ

=(x0，y0-1)•(-x0，-yo-1)=-

x

2 0

-

y

2 0

+1=-

3

2

x

2 0

+2．
∵|x0|≥

2

∴λ的取值范围是（-∞，-1]．

点评：本题以双曲线为载体，考查双曲线的几何性质，考查向量的数量积，考查函数的值域，属于基础题．