Question

已知双曲线C：

x2

2

-y2=1．
（1）求双曲线C的渐近线方程；
（2）已知点M的坐标为（0，1）．设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点．记λ=

MP

•

MQ

．求λ的取值范围；
（3）已知点D，E，M的坐标分别为（-2，-1），（2，-1），（0，1），P为双曲线C上在第一象限内的点．记l为经过原点与点P的直线，s为△DEM截直线l所得线段的长．试将s表示为直线l的斜率k的函数．

Answer 1

分析：（1）在双曲线C：

x2

2

-y2=1，把1换成0，就得到它的渐近线方程．
（2）设P的坐标为（x₀，y₀），则Q的坐标为（-x₀，-y₀），先求出

MP

和

MQ

，然后运用向量数量积的坐标运算能够求出λ的取值范围．
（3）根据P为双曲线C上第一象限内的点，可知直线l的斜率k∈(0，

2

2

).再由题设条件根据k的不同取值范围试将s表示为直线l的斜率k的函数．

解答：解：（1）在双曲线C：

x2

2

-y2=1，把1换成0，
所求渐近线方程为y-

2

2

x=0， y+

2

2

x=0
（2）设P的坐标为（x₀，y₀），则Q的坐标为（-x₀，-y₀），
λ=

MP

•

MQ

=(x0，y0-1)•(-x0，-yo-1)=-

x

2 0

-

y

2 0

+1=-

3

2

x

2 0

+2.
∵|x0|≥

2

∴λ的取值范围是（-∞，-1]．
（3）若P为双曲线C上第一象限内的点，
则直线l的斜率k∈(0，

2

2

).
由计算可得，当k∈(0，

1

2

]时，s(k)=

2

1-k2

1+k2

；
当k∈(

1

2

，

2

2

)时，s(k)=

2k+1

k+k2

1+k2

.
∴s表示为直线l的斜率k的函数是s(k)=

2 1-k2 1+k2   k∈(0 1 2 ] 2k+1 k+k2 1+k2  k∈( 1 2 2 2 ).

点评：本题是直线与圆锥曲线的综合问题，解题要熟练掌握双曲线的性质和解题技巧．