Question

已知双曲线c：

x2

2

-y2=1，设直线l过点A(-3

2

，0)，
（1）当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；
（2）证明：当k＞

2

2

时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为

6

．

Answer 1

分析：（1）先求出双曲线的渐近线方程，进而可得到直线l的斜率，然后根据直线l过点A(-3

2

，0)求出直线l的方程，再由平行线间的距离公式可求直线l的方程及l与m的距离．
（2）设过原点且平行于l的直线方程利用直线与直线的距离求得l与b的距离，当k＞

2

2

时，可推断出d＞

6

，利用双曲线的渐近线方程可知双曲线C的右支在直线b的右下方，进而推断出双曲线C的右支上的任意点到直线l的距离大于

6

，进而可知故在双曲线C的右支上不存在点Q（x₀，y₀）到到直线l的距离为

6

．

解答：解：（1）双曲线C的渐近线m：

x

2

±y=0，
即x±

2

y=0∴
直线l的方程x±

2

y+3

2

=0
∴直线l与m的距离d=

3 2

1+2

=

6

．

（2）设过原点且平行于l的直线b：kx-y=0，
则直线l与b的距离d=

3 2 |k|

1+k2

，
当k＞

2

2

时，d＞

6

．
又双曲线C的渐近线为x±

2

y=0，
∴双曲线C的右支在直线b的右下方，
∴双曲线C的右支上的任意点到直线l的距离大于

6

．
故在双曲线C的右支上不存在点Q（x₀，y₀）到到直线l的距离为

6

．

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．