Question

如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．
（1）求O点到面ABC的距离；
（2）求二面角E-AB-C的正弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：通过以O为原点，OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．利用点O到面ABC的距离公式d=

| n • OA |

| n |

，两个平面的法向量夹角公式cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n | | m |

即可得出．．

解答： 解：（1）以O为原点，OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
则A（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，0）．
∴

AB

=(2，0，-1)，

AC

=(0，2，-1)．
设平面ABC的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n • AB =2x-z=0 n • AC =2y-z=0

，令x=1，则z=2，y=1，∴

n

=(1，1，2)．
∴点O到面ABC的距离d=

| n • OA |

| n |

=

2

1+1+22

=

6

3

．
（2）

EB

=（2，-1，0）．
设平面EAB的法向量为

m

=(a，b，c)，则

m • EB =2a-b=0 m • AB =2a-c=0

，
令a=1，得b=c=2，∴

m

=(1，2，2)．
由（1）知平面ABC的法向量

n

=(1，1，2)．
cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n | | m |

=

1+2+4

6 • 9

=

7 6

18

．
∴sin＜

n

，

m

＞=

1-cos2＜ n ， m ＞

=

30

18

．
结合图形可知，二面角E-AB-C的正弦值是

30

18

．

点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系，利用点O到面ABC的距离公式d=

| n • OA |

| n |

求点到直线的距离，两个平面的法向量夹角公式cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n | | m |

求二面角等是解题的关键．