Question

已知函数f（x）=x²-4sinθ•x-1，x∈[-1，

3

]，其中θ∈[0，2π]
（1）当θ=

π

6

时，求函数f（x）的最大最小值；
（2）求θ的取值范围，使y=f（x）在区间[-1，

3

]上存在反函数．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,反函数

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）把θ=

π

6

代入可得函数解析式，由二次函数区间的最值可得；
（2）可得函数的图象为开口向上的抛物线，对称轴为x=2sinθ，要满足题意须使函数在该区间单调，可得 2sinθ≤-1，或2sinθ≥

3

，解之可得．

解答： 解：（1）当θ=

π

6

时，f（x）=x²-2x-1=（x-1）²-2，
函数的图象为开口向上的抛物线，对称轴为x=1，
故当x∈[-1，1]时，函数单调递减，
当x∈[1，

3

]时，函数单调递增，
故当x=1时，函数取最小值f（1）=-2，
当x=-1时，函数取最大值f（-1）=2；
（2）可得f（x）=（x-2sinθ）²-1-4sin²θ，
函数的图象为开口向上的抛物线，对称轴为x=2sinθ，
要使函数y=f（x）在区间[-1，

3

]上存在反函数，
必须使函数在该区间单调，故2sinθ≤-1，或2sinθ≥

3

，
可得sinθ≤-

1

2

，或sinθ≥

3

2

，
解之可得

7π

6

≤θ≤

11π

6

，或

π

3

≤θ≤

2π

3

，
故θ的取值范围为：

7π

6

≤θ≤

11π

6

，或

π

3

≤θ≤

2π

3

点评：本题考查二次函数区间的最值，涉及三角函数和反函数的应用，属中档题．