Question

已知一个三角形的三边长构成等比数列，其公比为x，则函数y=x²-

5

x的值域为（　　）

• A．（-

  5

  4

  ，+∞）
• B．[-

  5

  4

  ，+∞）
• C．（-

  5

  4

  ，-1）
• D．[-

  5

  4

  ，-1）

Answer 1

分析：由题意先设出三边为a、xa、x²a、x＞0则由三边关系：两短边和大于第三边a+b＞c，分公比大于1与公式在小于1两类解出公比的取值范围，此两者的并集是函数y=x²-

5

x的定义域，再由二次函数的性质求出它的值域，选出正确选项．

解答：解：设三边：a、xa、x²a、x＞0则由三边关系：两短边和大于第三边a+b＞c，即
（1）当x≥1时a+ax＞ax²，等价于解二次不等式：x²-x-1＜0，由于方程x²-x-1=0两根为：

1- 5

2

和

1+ 5

2

，
故得解：

1- 5

2

＜q＜

1+ 5

2

且x≥1，
即1≤x＜

1+ 5

2

（2）当x＜1时，a为最大边，xa+x²a＞a即得x²+x-1＞0，解之得x＞

5 -1

2

或x＜-

1+ 5

2

且x＞0
即x＞

5 -1

2

综合（1）（2），得：x∈（

5 -1

2

，

1+ 5

2

）
又y=x²-

5

x的对称轴是x=

5

2

，故函数在（

5 -1

2

，

5

2

）是减函数，在（

5

2

，

1+ 5

2

）是增函数
由于x=

5

2

时，y=-

5

4

；x=

5 -1

2

与x=

5 +1

2

时，y=-1
所以函数y=x²-

5

x的值域为[-

5

4

，-1）
观察四个选项知应选D
故选D

点评：本题考查等比数列的性质及二次函数的值域的求法，解答本题关键是熟练掌握等比数列的性质，能利用它建立不等式解出公比x的取值范围得出函数的定义域，熟练掌握二次函数的性质也很重要，由此类题可以看出，扎实的双基，娴熟的基础知识与公式的记忆是解题的知识保障．