Question

14．设x=3是函数f（x）=（x²+ax+b）e^3-x，（x∈R）的一个极值点．
（1）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调区间；
（2）设$a＞0，g（x）=\frac{{{e^2}{f^'}（x）}}{3-x}$，若存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]，使得$|{f（{ξ_1}）-g（{ξ_2}）}|＜5{e^2}-6$成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知中函数f（x）=（x²+ax+b）e^3-x（x∈R）的一个极值点是x=3．我们根据函数在某点取得极值的条件，易得f′（3）=0，进而构造方程求出a与b的关系式，分析函数在各个区间上的符号，即可得到答案．
（2）根据g（x）的表达式，利用导数法确定函数的单调性，再根据（1）的结论，我们可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案．

解答 解：（1）f′（x）=-e^3-x，（1分）
由f′（3）=0，得-e^3-3=0，即得b=-3-2a，（2分）
则f′（x）=-（x-3）（x+a+1）e^3-x．
令f′（x）=0，得x₁=3或x₂=-a-1，由于x=3是极值点，∴-a-1≠3，即a≠-4，（4分）
当a＜-4时，x₂＞3=x₁，则在区间（-∞，3）上，f′（x）＜0，
f（x）为减函数；在区间（3，-a-1）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
在区间（-a-1，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数．　　　　　　　　　　　　　（5分）
当a＞-4时，x₂＜3=x₁，则在区间（-∞，-a-1）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
在区间（-a-1，3）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数；在区间（3，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
（2）由（Ⅰ）知，当a＞0时，f（x）在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，
由于f（x）连续，而f（0）=-（2a+3）e³＜0，f（4）=（2a+13）e^-1＞0，f（3）=a+6，
那么f（x）在区间上的值域是：[-（2a+3）e³，a+6]，
　又g（x）=$\frac{{-e}^{2}（x-3）（x+a+1{）e}^{3-x}}{3-x}$=（x+a+1）e^5-x，（a＞0，x∈[0，4]），
g′（x）=-e^5-x（x+a）＜0，
∴g（x）在区间上是减函数，而g（0）=（a+1）e⁵，g（4）=（a+5）e，
∴它在区间上的值域是：[e（a+5），e⁵（a+1）]，
∴只需e（a+5）-（a+6）＜5e²-6即可，解得：a＜5e，
∴a的范围是：（0，5e）．

点评 本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的单调性，其中根据已知中的函数的解析式，结合导数公式，求出函数的导函数的解析式，是解答本题的关键．