Question

3．在棱长都相等的四面体ABCD中，E、F分别是CD、BC的中点，则异面直线AE、DF所成角的余弦值是$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 画出四面体ABCD，并设BC=4，取CF的中点为M，则∠AEM或其补角便是异面直线AE、DF所成角，这时候可以求出CM，CE，ME，而由余弦定理可以求出AM，从而在△AEM中由余弦定理即可求出cos∠AEM，这便得到异面直线AE、DF所成角的余弦值．

解答 解：如图，
设BC=4，取CF中点M，连接AM，ME；
∵E是CD中点；
∴ME∥DF；
∴∠AEM或其补角便是异面直线AE，DF所成角；
则：$DF=2\sqrt{3}$，$ME=\sqrt{3}$，$AE=2\sqrt{3}$，CE=2，CM=1；
∴在△ACM中，由余弦定理得：AM²=CA²+CM²-2CA•CM•cos60°=16+1-4=13；
∴在△AME中，由余弦定理得：cos∠AEM=$\frac{M{E}^{2}+A{E}^{2}-A{M}^{2}}{2ME•AE}=\frac{3+12-13}{2\sqrt{3}•2\sqrt{3}}=\frac{1}{6}$；
∴异面直线AE、DF所成角的余弦值是$\frac{1}{6}$．
故答案为：$\frac{1}{6}$．

点评 考查异面直线所成角的概念及其求法，清楚异面直线所成角的范围，等边三角形的中线也是高线，直角三角形边角的关系，以及余弦定理的应用．