【题目】如图,正方体的棱长为
,点
、
为棱
、
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)求点到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)取的中点
,连接
、
,证明出平面
平面
,利用面面平行的性质可证明出
平面
;
(2)取的中点
,连接
、
、
、
、
,证明出
、
、
、
四点共面,利用等体积法计算出点
到平面
的距离,即为所求.
(1)取的中点
,连接
、
,
在正方体中,
且
,
、
分别为
、
的中点,
且
,
四边形
为平行四边形,
,
平面
,
平面
,
平面
,
、
分别为
、
的中点,
,
平面
,
平面
,
平面
,
,
平面
平面
,
平面
,
平面
;
(2)取的中点
,连接
、
、
、
、
,
、
分别为
、
的中点,
,
在正方体中,
且
,
所以,四边形是平行四边形,
,
,
、
、
、
四点共面,
的面积为
,
平面
,
三棱锥
的体积为
.
由勾股定理得,
,
.
在中,
,
,
的面积为
,
设点到平面
的距离为
,由
,
即,解得
.
因此,点到平面
的距离为
.
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【题目】已知是定义在[-1,1]上的奇函数且
,若ab∈[-1,1],a+b≠0,有
成立.
(1)判断函数在[-1,1]上是增函数还是减函数,并加以证明.
(2)解不等式.
(3)若对所有,
恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】某建材商场国庆期间搞促销活动,规定:如果顾客选购物品的总金额不超过600元,则不享受任何折扣优惠;如果顾客选购物品的总金额超过600元,则超过600元部分享受一定的折扣优惠,折扣优惠按下表累计计算.
某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元,则他实际所付金额为____元.
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【题目】极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位,以原点O为极点,以轴正半轴为极轴.已知曲线的极坐标方程为
,曲线
的极坐标方程为
,射线
,
,
与曲线
分别交于异于极点O的四点A,B,C,D.
(1)若曲线关于
对称,求
的值,并求
的参数方程;
(2)若 |,当
时,求
的范围.
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【题目】科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线,一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到:任画…条线段,然后把它分成三等分,以中间一段为边向外作正三角形,并把中间一段去掉,这样,原来的一条线段就变成了由4条小线段构成的折线,称为“一次构造”;用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤,得到由16条更小的线段构成的折线,称为“二次构造”;…;如此进行“n次构造”,就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度大于初始线段的100倍,则至少需要构造的次数是( )(取,
)
A.16B.17C.24D.25
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【题目】已知椭圆的长轴长为4,直线
被椭圆
截得的线段长为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆的右顶点作互相垂直的两条直线
分别交椭圆
于
两点(点
不同于椭圆
的右顶点),证明:直线
过定点
.
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【题目】已知动点到点
的距离比到直线
的距离小
,设点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)过曲线上一点
(
)作两条直线
,
与曲线
分别交于不同的两点
,
,若直线
,
的斜率分别为
,
,且
.证明:直线
过定点.
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