【题目】如图在四棱锥中底面
为直角梯形,
,
,侧面
为正三角形且平面
底面
,
,
分别为
的中点.
(1)证明:平面
;
(2)求与平面
所成角
的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)首先取中点
,连接
,再证明平面
平面
,根据面面平行的性质即可证明
平面
.
(2)首先取中点
,连接
,根据平面
底面
得到
底面
,以
为坐标原点,
,
,
分别为
,
,
轴建立空间直角坐标系,再利用空间向量计算
与平面
所成角即可.
(1)如图所示:
取中点
,连接
,
因为为
中位线,
所以,
因为平面
,所以
平面
.
因为,
又因为,所以
.
所以四边形为平行四边形,
所以,
因为平面
,所以
平面
.
因为平面
,
平面
,
,
所以平面平面
.
因为平面
,
平面
,
所以平面
.
(2)取中点
,连接
.
因为,所以
.
因为平面底面
,
所以底面
.
以为坐标原点,
,
,
分别为
,
,
轴建立空间直角坐标系,
如图所示:
设,
,
,
,
,
,
.
所以,
,
,
设平面的一个法向量为
,
则,即
,
可取,解得
,
.
则,
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知正项数列,
满足:对任意正整数
,都有
,
,
成等差数列,
,
,
成等比数列,且
,
.
(Ⅰ)求证:数列是等差数列;
(Ⅱ)求数列,
的通项公式;
(Ⅲ)设=
+
+…+
,如果对任意的正整数
,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某产品的包装纸可类比如图所示的平面图形,其可看作是由正方形和等腰梯形
拼成,已知
,
,在包装的过程中,沿着
将正方形
折起,直至
,得到多面体
,
分别为
中点.
(1)证明:平面
;
(2)求四棱锥的体积.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为抗击新冠疫情,某企业组织员工进行用款捐物的爱心活动.原则上每人以自愿为基础,捐款不超过400元.现项目负责人统计全体员工数据后,下表为随机抽取的10名员工.的捐款数额.
员工编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
捐款数额 | 124 | 86 | 215 | 53 | 132 | 195 | 400 | 90 | 300 | 225 |
(1)若从这10名员工中任意选取3人,记选到的3人中捐款数额大于200元的人数为X,求X的分布列和数学期望:
(2)以表中选取的10人作为样本.估计该企业全体员工的捐款情况,现从企业员工中依次抽取8人,若抽到k人的捐款数额小于200元的可能性最大,求k的值.
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