Question

【题目】如图，在四面体中，E是线段的中点，，，.

（1）证明：；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）取线段的中点，连接，．证明．推出平面，然后证明．

（2）解法一：令，点为原点，射线、、分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．求出平面、平面的法向量，利用空间向量的数量积求解平面与平面所成锐二面角的余弦值．

解法二：令，取中点，则，，说明为二面角的平面角，利用余弦定理转化求解，平面与平面所成锐二面角的余弦值即可．

（1）取线段的中点F，连接、.

因为E是线段的中点，所以.又，所以.

因为，F是的中点，所以.

因为平面，平面，，

所以平面，而平面，

所以.

（2）解法一：

令，则，

那么，，

所以，所以.

又，，故可以以点F为原点，射线、、分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.

则，，，，

所以，，.

设平面、平面的法向量分别为，，

由，得，取，则.

由，得，取，则.

所以.

故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

解法二：

令，由已知及（1）可得：，

所以，均为棱长为a的正三角形.

取中点G，则，，故为二面角的平面角，

在中，，，

由余弦定理可得：，

故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.