Question

【题目】已知函数，.

（1）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；

（2）当时，若对任意的，总存在使成立，求实数的取值范围；

（3）若的值域为区间，是否存在常数，使区间的长度为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.（柱：区间的长度为）

Answer 1

【答案】(1) ；(2)；(3)答案见解析.

【解析】试题分析：求出函数的对称轴，得到函数的单调性，解关于的不等式组，解出即可；

只需函数的值域是函数的值域的子集，通过讨论，，的情况，得到函数的单调性，从而确定的范围即可；

通过讨论的范围，结合函数的单调性以及，的值，得到关于的方程，解出即可。

解析：(1)根据题意得：的对称轴是，故在区间递增，

因为函数在区间上存在零点，故有，即，

故所求实数的范围是；

（2）若对任意的，总存在，使成立，

只需函数的值域是函数的值域的子集，

时，的值域是，

下面求，的值域，

令，则，，

①时，是常数，不合题意，舍去；

②时，的值域是，

要使 ，只需，计算得出；

③时，的值域是，

要使 ，只需，计算得出；

综上，的范围是.

（3）根据题意得，计算得出，

①时，在区间上，最大，最小，

，

计算得出：或（舍去）；

②时，在区间上，最大，最小，

，计算得出：；

③时，在区间上，最大，最小，

，

计算得出：或，故此时不存在常数满足题意，

综上，存在常数满足题意，或.