【题目】如图,在直角梯形SABC中,∠B=∠C= ,D为边SC上的点,且AD⊥SC,现将△SAD沿AD折起到达PAD的位置(折起后点S记为P),并使得PA⊥AB.
(1)求证:PD⊥平面ABCD;
(2)已知PD=AD,PD+AD+DC=6,G是AD的中点,当线段PB取得最小值时,则在平面PBC上是否存在点F,使得FG⊥平面PBC?若存在,确定点F的位置,若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)证明:∵PA⊥AB,AB⊥AD,PA⊥AD=A,
∴AB⊥平面PAD,
∵PD平面PAD,
∴AB⊥PD,
∵PD⊥AD,AD∩AB=A,
∴PD⊥平面ABCD
(2)解:设PD=x,则AD=x,DC=6﹣2x,
∴PB2=x2+x2+(6﹣2x)2=6(x﹣2)2+12,当且仅当x=2时,PB2取得最小值,
即PB取得最小值,
取PC的中点M,PB的中点N,
则DM⊥平面PBC,
∵四边形DMNG是平行四边形,
∴GN∥DM,
GN⊥平面PBC,
∴在平面PBC上存在点F,即PB的中点,使FG⊥平面PBC.
【解析】(1)根据线面垂直的判定定理即可证明PD⊥平面ABCD;(2)根据线面垂直的判定定理以及直线平行的性质进行证明即可.
【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定的相关知识点,需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能正确解答此题.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知过抛物线 的焦点,斜率为
的直线交抛物线于
,
(
)两点,且
.
(1)求该抛物线的方程;
(2) 为坐标原点,
为抛物线上一点,若
,求
的值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某淘宝商城在2017年前7个月的销售额 (单位:万元)的数据如下表,已知
与
具有较好的线性关系.
(1)求关于
的线性回归方程;
(2)分析该淘宝商城2017年前7个月的销售额的变化情况,并预测该商城8月份的销售额.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
,
.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数,
.
(1)若函数在区间
上存在零点,求实数
的取值范围;
(2)当时,若对任意的
,总存在
使
成立,求实数
的取值范围;
(3)若的值域为区间
,是否存在常数
,使区间
的长度为
?若存在,求出
的值,若不存在,请说明理由.(柱:区间
的长度为
)
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列满足:
(1) 证明:数列是等比数列;
(2) 求使不等式成立的所有正整数m、n的值;
(3) 如果常数0 < t < 3,对于任意的正整数k,都有成立,求t的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列,
,
为数列
的前
项和,向量
,
,
.
(1)若,求数列
通项公式;
(2)若,
.
①证明:数列为等差数列;
②设数列满足
,问是否存在正整数
,
,且
,
,使得
、
、
成等比数列,若存在,求出
、
的值;若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(本小题满分12分)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字,
,
,这三张卡片除标记的数字外完全相同。随机有放回地抽取
次,每次抽取
张,将抽取的卡片上的数字依次记为
,
,
.
(Ⅰ)求“抽取的卡片上的数字满足”的概率;
(Ⅱ)求“抽取的卡片上的数字,
,
不完全相同”的概率.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com