Question

【题目】已知过抛物线 的焦点，斜率为 的直线交抛物线于 ， （ ）两点，且 .
（1）求该抛物线的方程；
（2） 为坐标原点， 为抛物线上一点，若 ，求 的值.

Answer 1

【答案】
（1）解：设直线AB方程为：y=
联立 得
由韦达定理得：
由抛物线定理知：
|AB|=|AF|+|BF|=
得： 即p=4
∴抛物线方程为：
（2）解：由p=4，方程： 化为
解得x1=1, x2=4.即A（1，-2 ） B（4，4 ）
由 + （4，4 ）
知 代入抛物线方程
.
解得： =0或 =2
【解析】本题主要考查有关抛物线的标准方程和简单的性质问题。第一小题，主要是根据弦长问题求解抛物线的标准方程，先根据题意求出抛物线的交点坐标，进而写出过焦点的直线方程，然后和抛物线方程进行联立，利用弦长公式即可求得p，求出抛物线的标准方程。第二小题主要是抛物线性质的应用，根据第一小题中求出点A，B的坐标，根据向量的关系式 O C = O A + λ O B 求出点C的坐标，代入抛物线方程即可求解。