Question

【题目】如图1，在高为2的梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，CD=5，过A、B分别作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E、F．已知DE=1，将梯形ABCD沿AE、BF同侧折起，得空间几何体ADE﹣BCF，如图2．
（Ⅰ）若AF⊥BD，证明：△BDE为直角三角形；
（Ⅱ）若DE∥CF， ，求平面ADC与平面ABFE所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】解：证明：连接BE， 由已知可知四边形ABFE是正方形，∴AF⊥BE，
又AF⊥BD，BE∩DE=E，
∴AF⊥平面BDE，又DE平面BDE，
∴AF⊥DE，
又DE⊥AE，AE∩AF=F，
∴DE⊥平面ABFE，又BE平面ABFE，
∴DE⊥BE，即△BDE为直角三角形．
（Ⅱ）取CF的中点M，连结DM，则四边形DEFM是平行四边形，
∴DM=EF=2，CM= CF=1，又CD= ，
∴cos∠CMD= = ，即∠CMD=∠CFE=60°，
过E作EG⊥EF，则EG⊥平面ABFE，
以E为原点，以EA，EF，EG为坐标轴建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），C（0，1， ），D（0，﹣ ， ），
∴ =（﹣2，1， ）， =（﹣2，﹣ ， ），
设平面ACD的法向量为 =（x，y，z），则 ，
即 ，令z= 得 =（1，﹣1， ），
又GE⊥平面ABFE，∴ =（0，0，1）是平面ABFE的一个法向量，
∴cos＜ ＞= = = ，
由图形可知平面ADC与平面ABFE所成角为锐二面角，
∴平面ADC与平面ABFE所成角的余弦值为 ．

【解析】（1）由AF⊥BE，AF⊥BD可得AF⊥平面BFE，得出AF⊥DE，结合DE⊥AE即可得出DE⊥平面ABFE，故而DE⊥BE；（2）求出∠CFE的大小，以E为原点建立空间坐标系，求出平面ACD和平面ABFE的法向量，计算两法向量的夹角即可得出二面角的大小．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的性质的相关知识点，需要掌握垂直于同一个平面的两条直线平行才能正确解答此题．