Question

【题目】做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是 ，且用料最省，则圆柱的底面半径为 ．

Answer 1

【答案】3
【解析】设圆柱的高为h，半径为r则由圆柱的体积公式可得，πr2h=27π，即 ，要使用料最省即求全面积的最小值，而S全面积=πr2+2πrh= =
（法一）令S=f（r），结合导数可判断函数f（r）的单调性，进而可求函数取得最小值时的半径
（法二）：S全面积=πr2+2πrh= = ，利用基本不等式可求用料最小时的r
解：设圆柱的高为h，半径为r
则由圆柱的体积公式可得，πr2h=27π

S全面积=πr2+2πrh= =
（法一）令S=f（r），（r＞0）
=
令f′（r）≥0可得r≥3，令f′（r）＜0可得0＜r＜3
∴f（r）在（0，3）单调递减，在[3，+∞）单调递增，则f（r）在r=3时取得最小值
（法二）：S全面积=πr2+2πrh= =
= =27π
当且仅当 即r=3时取等号
当半径为3时，S最小即用料最省
故答案为：3
本题主要考查圆柱的体积及表面积的最值问题。要求用料最省，要根据实际问题转化为数学问题，即先设圆柱的高为h，半径为r，根据圆柱的体积公式可得到h，要使用料最省，即求圆柱全面积的最小值，根据公式代入全面积公式，利用不等式即可求解最小值。也可根据导数的单调性求解最小值问题。