【题目】已知函数.
(1)设.
①若,曲线
在
处的切线过点
,求
的值;
②若,求
在区间
上的最大值.
(2)设在
,
两处取得极值,求证:
,
不同时成立.
【答案】(1)①或
.②
的最大值为0.(2)见解析.
【解析】(1)根据题意,在①中,利用导数的几何意义求出切线方程,再将点代入即求出
的值,在②中,通过函数的导数来研究其单调性,并求出其极值,再比较端点值,从而求出最大值;(2)由题意可采用反证法进行证明,假设问题成立,再利用函数的导数来判断函数的单调性,证明其结果与假设产生矛盾,从而问题可得证.
试题解析:(1)当时,
.
①若,则
,
从而,
故曲线在
处的切线方程为
.
将点代入上式并整理得
,
解得或
.
②若,则令
,解得
或
.
(ⅰ)若,则当
时,
,
所以为区间
上的增函数,
从而的最大值为
.
(ii)若,列表:
所以的最大值为
.
综上, 的最大值为0.
(2)假设存在实数,使得
与
同时成立.
不妨设,则
.
因为,
为
的两个极值点,
所以
.
因为,所以当
时,
,
故为区间
上的减函数,
从而,这与
矛盾,
故假设不成立.
既不存在实数,
,
,使得
,
同时成立.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,已知曲线
的方程为
(
为参数),以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
(
).
(1)求曲线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)曲线上有3个点到曲线
的距离等于1,求
的值.
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【题目】为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人,结果如下:
(Ⅰ)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例;
(Ⅱ)能否有的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关?
(Ⅲ)根据(Ⅱ)的结论,能否提供更好的调查方法来估计该地区的老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例?说明理由.
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】在某次水下科研考察活动中,需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业,根据已往经验,潜水员下潜的平均速度为(米/单位时间),每单位时间的用氧量为
(升),在水底作业10个单位时间,每单位时间用氧量为
(升),返回水面的平均速度为
(米/单位时间),每单位时间用氧量为
(升),记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为
(升).
(1)求关于
的函数关系式;
(2)若,求当下潜速度
取什么值时,总用氧量最少.
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【题目】已知城和城
相距
,现计划以
为直径的半圆上选择一点
(不与点
,
重合)建造垃圾处理厂.垃圾处理厂对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关,对城
和城
的总影响度为对城
与城
的影响度之和.记点到
城
的距离为
,建在
处的垃圾处理厂对城
和城
的总影响度为
.统计调查表明:垃圾处理厂对城
的影响度与所选地点到城
的距离的平方成反比例关系,比例系数为4;对城
的影响度与所选地点到城
的距离的平方成反比例关系,比例系数为
.当垃圾处理厂建在
的中点时,对城
和城
的总影响度为0.065.
(1)将表示成
的函数.
(2)讨论(1)中函数的单调性,并判断在上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城
和城
的总影响度最小?若存在,求出该点到城
的距离;若不存在,请说明理由.
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【题目】国内某汽车品牌一个月内被消费者投诉的次数用表示,据统计,随机变量
的概率分布如下:
(1)求的值;
(2)假设一月与二月被消费者投诉的次数互不影响,求该汽车品牌在这两个月内被消费者投诉次的概率.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
为参数).它与曲线
交于
两点.
(1)求的长;
(2)在以为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点
的极坐标为
,求点
到线段
中点
的距离.
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