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    【题目】已知城和城相距，现计划以为直径的半圆上选择一点（不与点， 重合）建造垃圾处理厂.垃圾处理厂对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城和城的总影响度为对城与城的影响度之和.记点到城的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为.统计调查表明：垃圾处理厂对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比例关系，比例系数为4；对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比例关系，比例系数为.当垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为0.065.

    （1）将表示成的函数.

    （2）讨论（1）中函数的单调性，并判断在上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城和城的总影响度最小？若存在，求出该点到城的距离；若不存在，请说明理由.

    【答案】（1）.

    （2）点到城的距离为时，函数有最小值.

    【解析】（1）由点是在以为直径的半圆上，则易知，由勾股定理可得， ，再根据题意建立函数模型，求出系数,从而问题可得解；（2）由（1）可得，利用函数导数来研究该的单调性，并求出其最小值，从而问题可得解.

    试题解析：（1）由题意知， ， ，

    则，

    所以 .

    因为当时， ，

    代入表达式解得，

    所以 .

    （2）因为，

    所以 .

    令，得，

    所以，即.

    当时， ，所以函数为减函数；

    当时， ，所以函数为增函数.

    所以当，即点到城的距离为 时，函数 有最小值.

    练习册系列答案
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    年龄

    分组

    抽取份数

    答对全卷

    的人数

    答对全卷的人数

    占本组的概率

    [20,30)

    40

    28

    0．7

    [30,40)

    27

    0．9

    [40,50)

    10

    4

    [50,60]

    20

    0．1

    （1）分别求出， ， ， 的值；

    （2）从年龄在答对全卷的人中随机抽取2人授予“环保之星”，求年龄在的人中至少有1人被授予“环保之星”的概率．

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    【题目】从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会，问：

    (1)如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？

    (2)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？

    (3)如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？

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    【题目】已知函数.

    （1）设.

    ①若，曲线在处的切线过点，求的值；

    ②若，求在区间上的最大值.

    （2）设在， 两处取得极值，求证： ， 不同时成立.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】下列4个命题：

    ①“若成等比数列，则”的逆命题；

    ②“如果，则”的否命题；

    ③在中，“若”则“”的逆否命题；

    ④当时，若对恒成立，则的取值范围是.

    其中真命题的序号是__________．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某城市要建成宜商、宜居的国际化新城，该城市的东城区、西城区分别引进8个厂家，现对两个区域的16个厂家进行评估，综合得分情况如茎叶图所示.

    （1）根据茎叶图判断哪个区域厂家的平均分较高；

    （2）规定85分以上（含85分）为优秀厂家，若从该两个区域各选一个优秀厂家，求得分差距不超过5分的概率.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】袋中有个黄色、个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次任取个球，取次，则关于事件“直到第二次才取到黄色球”与事件“第一次取到白球的情况下，第二次恰好取得黄球”的概率说法正确的是（ ）

    A. 事件“直到第二次才取到黄色球”与事件“第一次取得白球的情况下，第二次恰好取得黄球”的概率都等于

    B. 事件“直到第二次才取到黄色球”与事件“第一次取得白球的情况下，第二次恰好取得黄球”的概率都等于

    C. 事件“直到第二次才取到黄色球”的概率等于，事件“第一次取得白球的情况下，第二次恰好取得黄球”的概率等于

    D. 事件“直到第二次才取到黄色球”的概率等于，事件“第一次取得白球的情况下，第二次恰好取得黄球”的概率等于

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    （Ⅱ）过点的直线与椭圆交于两点，过作轴且与椭圆交于另一点， 为椭圆的右焦点，求证：三点在同一条直线上．

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    【题目】已知函数.

    （1）求的单调区间；

    （2）若且时， 恒成立，求的范围.

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