Question

【题目】已知函数f（x）= ．
（1）证明：f（x）+|f（x）﹣2|≥2；
（2）当x≠﹣1时，求y= 的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：因为f（x）= ≥0，

所以f（x）+|f（x）﹣2|=|f（x）|+|2﹣f（x）|≥|f（x）+2﹣f（x）|=2，

当且仅当f（x）[2﹣f（x）]≥0即0≤f（x）≤2即﹣1﹣2 ≤x≤﹣1+2 时取等号

（2）解：当x≠﹣1时，f（x）= ＞0，

所以y= = + +[f（x）]2≥3 = ，

当且仅当 = =[f（x）]2即x=﹣1± 时取等号，

所以所求最小值为

【解析】（1）通过绝对值不等式放缩可得结论；（2）通过当x≠﹣1时f（x）= ＞0，利用基本不等式的推广放缩可得结论．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的最值及其几何意义的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值．