Question

已知圆C的方程为x²+y²-6x-2y+5=0，过点P（2，0）的动直线l与圆C交于P₁，P₂两点，过点P₁，P₂分别作圆C的切线l₁，l₂，设l₁与l₂交点为M，求证：点M在一条定直线上，并求出这条定直线的方程．

Answer 1

分析：设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），M（x₀，y₀），由切线的性质，可得MP₁⊥CP₁，进而得到（x₀-3）（ x₁-3）+（y₀-1）（y₁-1）=5，由MP₂⊥CP₂，可得（x₀-3）（x₂-3）+（y₀-1）（y₂-1）=5，即过点P₁，P₂的直线方程为（x-3）（x₀-3）+（y-1）（y₀-1）=5，将点P（2，0）代入化简可得点M所在定直线的方程．

解答：解：⊙C：（x-3）²+（y-1）²=5的圆心C为（3，1）．…（1分）
设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），M（x₀，y₀），…（2分）
因为P₁M与圆C相切，所以MP₁⊥CP₁．  …（4分）
所以（x₁-x₀）（x₁-3）+（y₁-y₀）（y₁-1）=0，
即（x₁-3）²+（3-x₀）（x₁-3）+（y₁-1）²+（1-y₀）（y₁-1）=0，…（6分）
因为（x₁-3）²+（y₁-1）²=5，
所以（x₀-3）（ x₁-3）+（y₀-1）（y₁-1）=5，…（8分）
同理（x₀-3）（x₂-3）+（y₀-1）（y₂-1）=5．
所以过点P₁，P₂的直线方程为（x-3）（x₀-3）+（y-1）（y₀-1）=5．…（10分）
因直线P₁P₂过点（2，0）．
所以代入得（2-3）（x₀-3）+（0-1）（y₀-1）=5，
即x₀+y₀+1=0．
所以点M恒在直线x+y+1=0上．…（12分）

点评：本题考查的知识点是切线的性质，直线方程，点与直线的位置关系，其中根据已知结合切线的性质，得到过点P₁，P₂的直线方程为（x-3）（x₀-3）+（y-1）（y₀-1）=5，是解答的关键．