Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为正方形，且PA⊥平面ABCD，PA=2AB．
（I）证明：PC⊥BD；
（II）求PB与平面PAC所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）证明BD⊥PC，利用三垂线定理，即可证得；
（II）判断BO⊥面PAC，可得∠BPO为直线PB与平面PAC所成的角，利用正弦函数即可求得．

解答：（I）证明：∵PA⊥平面ABCD，
∴PC在底面上的射影为AC
∵ABCD为正方形，∴BD⊥AC
∴BD⊥PC；
（II）解：设正方形的中心为O．
∵BO⊥AC，BO⊥PA，AC∩PA=A
∴BO⊥面PAC，∴∠BPO为直线PB与平面PAC所成的角．
设AB=1，则PA=2，BO=

2

2

，PB=

5

∴sin∠BPO=

10

10

即所求直线PB与平面PAC所成的角的正弦值为

10

10

点评：本题考查线线垂直，考查线面角，正确作出线面角是关键．