Question

2．求函数f（x）=-4x²+4ax-4a-a²在区间[0，1]上的最值．

Answer 1

分析 对f（x）配方得到$f（x）=-4（x-\frac{a}{2}）^{2}-4a$，可以看出对称轴为x=$\frac{a}{2}$，需讨论对称轴和区间[0，1]的关系：分$\frac{a}{2}≤0，0＜\frac{a}{2}≤\frac{1}{2}，\frac{1}{2}＜\frac{a}{2}＜1，和\frac{a}{2}≥1$四种情况，在每种情况里，根据二次函数f（x）在[0，1]上的单调性，及取得顶点情况和比较端点值，从而可求出每种情况下f（x）的最值．

解答 解：f（x）=-4x²+4ax-4a-a²=$-4（x-\frac{a}{2}）^{2}-4a$；
①若$\frac{a}{2}≤0$，即a≤0，则f（x）在[0，1]上单调递减；
∴f（0）=-4a-a²是f（x）的最大值，f（1）=-4-a²是f（x）的最小值；
②若$0＜\frac{a}{2}≤\frac{1}{2}$，即0＜a≤1，则：f（$\frac{a}{2}$）=-4a是f（x）的最大值，f（1）=-4-a²是最小值；
③若$\frac{1}{2}＜\frac{a}{2}＜1$，即1＜a＜2，则：f（$\frac{a}{2}$）=-4a是f（x）的最大值，f（0）=-4a-a²是最小值；
④若$\frac{a}{2}≥1$，即a≥2，f（x）在[0，1]上单调递增；
∴f（0）=-4a-a²是f（x）的最小值，f（1）=-4-a²是f（x）的最大值．

点评 考查函数最值的概念，二次函数的对称轴，二次函数的单调性，根据函数单调性及取得顶点情况，及对端点值的比较从而求出二次函数在闭区间上最值的方法，要熟悉二次函数图象．