Question

正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是对角线AC上一动点．
（1）如图1，当点P在线段OA上运动时(不与点A、O重合) ，PE⊥PB交线段CD于点E，PF⊥CD于点E．

①判断线段DF、EF的数量关系，并说明理由；
②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，当点P在线段OC上运动时(不与点O、C重合)，PE⊥PB交直线CD于点E，PF⊥CD于点E．判断（1）中的结论①、②是否成立？若成立，说明理由；若不成立，写出相应的结论并证明．

Answer 1

（1）①DF=EF ②PC－PA=CE
（2）结论①成立, 结论②不成立，

试题分析：（1）①DF=EF                                                     …1分
理由如下：连接PD，因为AB=AD,AP=AP,∠BAP=∠DAP=45°,
所以,
所以,
因为,所以在四边形中,
因为，所以,
因为所以（等腰三角形底边垂线即底边平分线）.           …4分
②,同理,
所以,
因为所以                                       …7分
（2）结论①成立                                                           …8分
理由同（1）①即可；                                                       …9分
结论②不成立.                                                             …10分
相应的结论为PA－PC=CE                                             …11分
证明同（1）②.                                                          … 12分
点评：对于此类问题，要灵活运用平面几何知识（平行、相似、全等等），要注意恰当转化.