Question

在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“折线路径”，所有“折线路径”中长度最小的称为M到N的“折线距离”．如图所示的路径MD₁D₂D₃N与路径MEN都是M到N的“折线路径”．某地有三个居民区分别位于平面xOy内三点A（-8，1），B（5，2），C（1，14），现计划在这个平面上某一点P（x，y）处修建一个超市．
（1）请写出点P到居民区A的“折线距离”d的表达式（用x，y表示，不要求证明）；
（2）为了方便居民，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“折线距离”之和最小．

Answer 1

考点：根据实际问题选择函数类型

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）根据“折线距离”的定义，可得点P到居民区A的“折线距离”长度最小值；
（II）由题意知，点P到三个居民区的“折线距离”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“折线距离”长度最小值之和（记为d）的最小值，分类讨论，利用绝对值的几何意义，即可求得点P的坐标．

解答： 解：设点P的坐标为（x，y），则
（1）点P到居民区A的“折线距离”长度最小值为|x+8|+|y-1|，y∈[0，+∞）；
（2）由题意知，点P到三个居民区的“折线距离”长度之和的最小值为点P到三个居民区的“折线距离”长度最小值之和（记为d）的最小值
∵d₁（x）=|x+8|+|x-5|+|x-1|≥|x+8|+|x-5|≥13
∴当且仅当x=1时，d₁（x）=|x+8|+|x-5|+|x-1|的最小值为13，
∵d₂（y）=|y-1|+|y-2|+|y-14|≥|y-1|+|y-14|≥13
∴当且仅当y=2时，d₂（y）=|y-1|+|y-2|+|y-14|的最小值为13
∴点P的坐标为（1，2）时，点P到三个居民区的“折线距离”长度之和的最小，且最小值为26．

点评：本题考查新定义，考查学生建模的能力，同时考查学生的理解能力，属于难题．