Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n-2a_n-1-2^n-1=0（n∈N^*，n≥2）．
（1）求证：数列{

an

2n

}是等差数列；
（2）若数列{a_n}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出

an

2n

-

an-1

2n-1

=

1

2

，由此证明{

an

2n

}是以

1

2

为首项，

1

2

为公比的等差数列．
（2）由（1）知

an

2n

=

1

2

+

1

2

(n-1)，从而得到an=n•2n-1，由此利用错位相减法能求出数列{a_n}的前n项和S_n．

解答： （1）证明：∵数列{a_n}满足a1=1， an-2an-1-2n-1=0(n∈N*，n≥2)，
∴

an

2n

-

an-1

2n-1

=

1

2

，
又

a1

2

=

1

2

，
∴{

an

2n

}是以

1

2

为首项，

1

2

为公比的等差数列．
（2）解：由（1）知

an

2n

=

1

2

+

1

2

(n-1)，
∴an=n•2n-1，
∴Sn=1•20+2•2+3•22+…+n•2n-1，①
2Sn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，②
①-②，得：
-S_n=1=1+2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ
=

1-2n

1-2

-n•2n
=2ⁿ-1-n•2ⁿ，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ+1．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．