Question

数列{a_n}各项均为正数，首项为a，对任意正整数n，a_n•a_n+1=

4n

2

恒成立．
（Ⅰ）若数列{a_n}为等比数列，求实数a的值；
（Ⅱ）记b_n为数列{a_n}的前2n项的和，若对任意正整数n，不等式b_n≤

11

4

（4ⁿ-1）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件利用递推思想依次求出a₂=

2

a

，a₃=4a，再由数列{a_n}为等比数列能求出a的值．
（Ⅱ）由已知条件知b1=a+

2

a

≤

11

4

(4-1)，由此能求出实数a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵{a_n}各项均为正数，首项为a，
对任意正整数n，a_n•a_n+1=

4n

2

恒成立，∴a•a2=

4

2

=2，解得a₂=

2

a

，

2

a

•a3=

42

2

=8，解得a₃=4a，
∵数列{a_n}为等比数列，∴(

2

a

)2=a•4a，
解得a=1或a=-1（舍）．
∴a=1．
（Ⅱ）∵b_n为数列{a_n}的前2n项的和，
对任意正整数n，不等式b_n≤

11

4

（4ⁿ-1）恒成立，
∴b1=a+

2

a

≤

11

4

(4-1)，
整理，得：4a²-33a+8≤0，
解得

1

4

≤a≤8，
∴实数a的取值范围是[

1

4

，8]．

点评：本题考查满足等比数列的实数值的求法，考查满足不等式的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意递推思想的合理运用．