Question

如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB，PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：EF⊥CD；
（3）若PA=AD，求二面角P-DC-A的平面角的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的性质

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取PO中点H，连FH，AH，由三角形中位线定理，及E为AB中点，可得AEFH为平行四边形，从而EF∥AH，再由线面平行的判定定理得到EF∥平面PAD；
（2）由已知中矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，我们可得PA⊥CD，CD⊥AD，由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD，进而根据线面垂直的性质可得CD⊥AH，结合AH∥EF得到EF⊥CD；
（3）由矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，可得∠PDA为所求的二面角．

解答： （1）证明：取PD中点H，连FH，AH
则FH平行且等于

1

2

CD，
又CD平行且等于AB，E为AB中点，
∴FH平行且等于AE
∴AEFH为平行四边形，
从而EF∥AH，
又EF?平面PAD，AH?平面PAD，
所以EF∥平面PAD
（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD，
又CD⊥AD
∴CD⊥平面PAD，
又AH?平面PAD，
∴CD⊥AH，
而AH∥EF，
∴CD⊥EF．
（3）解：∵矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，
∴∠PDA为所求的二面角．
∴PA=AD，∴∠PDA=45°．

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，其中（1），（2）的关键是熟练掌握空间中直线与平面平行、垂直的判定定理及性质定理，（3）的关键是证得∠PDA即为二面角P-DC-A的平面角．