Question

已知椭圆E₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）椭圆E₂的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其长轴长和短轴长分别是椭圆E₁长轴长和短轴长的

λ

倍（λ＞0，λ≠1）．
（Ⅰ）求椭圆E₂的方程；并证明椭圆E₁，E₂的离心率相同；
（Ⅱ）当λ=2时，设M，N是椭圆E₁上的两个点，OM，ON的斜率分别是k_OM，k_ON，且k_OM•k_ON=-

b2

a2

（O是坐标原点），若OMPN是平行四边形，证明：点P在椭圆E₂上．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程,椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据长轴长和短轴长分别是椭圆E₁长轴长和短轴长的

λ

倍，可得椭圆E₂的方程；确定焦距长也为椭圆E₁焦距长的

λ

倍，即可证明椭圆E₁，E₂的离心率相同；
（Ⅱ）设M（acosα，bsinα），N（acosβ，bsinβ），则由k_OM•k_ON=-

b2

a2

，可得cos（α-β）=0，确定P的坐标，代入椭圆E₂的方程，即可得证．

解答： （Ⅰ）解：设椭圆E₁，E₂的离心率分别为e₁，e₂，则
∵长轴长和短轴长分别是椭圆E₁长轴长和短轴长的

λ

倍，
∴椭圆E₂的方程为

x2

λa2

+

y2

λb2

=1．
又长轴长和短轴长分别是椭圆E₁长轴长和短轴长的

λ

倍，
∴焦距长也为椭圆E₁焦距长的

λ

倍，
∴椭圆E₁，E₂的离心率相同；
（Ⅱ）证明：设M（acosα，bsinα），N（acosβ，bsinβ），则
∵k_OM•k_ON=-

b2

a2

，
∴

b

a

tanα•

a

b

tanβ=-

b2

a2

，
∴tanα•tanβ=-1，
∴cos（α-β）=0．
设P（x，y），则∵OMPN是平行四边形，
∴x=a（cosα+cosβ），y=b（sinα+sinβ），
∴λ=2时，

x2

λa2

+

y2

λb2

=

1

2

[2+2cos（α-β）]=1，
∴点P在椭圆E₂上．

点评：本题考查椭圆的方程，考查椭圆的参数方程，考查学生分析解决问题的能力，有难度．