Question

已知等差数列{a_n}，满足a₈=5，且a₁，a₄，a₅成等比数列．
（1）求a_n；
（2）若{a_n}的前n项和为S_n，则当n为何值时，S_n有最小值？
（3）若b_n=|a_n|，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）运用等差数列的通项公式和等比数列的性质，可求出首项和公差，从而得到通项；
（2）可通过通项，判断数列的单调性和各项的正负，即可求出最小值；
（3）讨论1≤n≤5，求出T_n=-S_n，n＞5，由T_n=S_n-2S₅，即可求出答案，但不要忘记d=0的情况．

解答： 解（1）∵a₈=5，∴a₁+7d=5，
∵a₁，a₄，a₅成等比数列，
∴a₁（a₁+4d）=（a₁+3d）²，化简得，4a₁d=6a₁d+9d²，
∴d=0，a₁=5或d=2，a₁=-9
∴a_n=5或a_n=-11+2n；
（2）显然d≠0，由a_n≤0得，
-11+2n≤0，解得n≤

11

2

，即前5项都为负的，第6项起均为正，
故S_n的前5项和最小．
（3）当d=0时，b_n=5，T_n=5n；
当d=2时，b_n=|a_n|=|-11+2n|，
当n≤5时，S_n=

1

2

（-9-11+2n）n=n²-10n，
∴T_n=-n²+10n，
当n≥6时，T_n=S_n-2S₅=-10n+n²-2×（25-50）=-10n+n²+50，
∴T_n=5n或T_n=

-n2+10n，n≤5 n2-10n+50，n≥6

．

点评：本题主要考查数列的通项与求和，考查等差数列的通项和求和，及最值，同时考查等比数列的性质，属于中档题，也是易错题．