Question

已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，且满足以下条件：
①f（x）=a^x•g（x）（a＞0，a≠1）；
②g（x）≠0；
③f（x）•g'（x）＞f'（x）•g（x）；
若

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，则a=

1

2

．

Answer 1

分析：先根据

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

得到含a的式子，求出a的两个值，再由已知，利用导数判断函数

f(x)

g(x)

=ax的单调性求a的范围，判断a的两个之中哪个成立即可．

解答：解：由

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

得a1+a-1=

5

2

，
所以a=2或a=

1

2

．
又由f（x）•g'（x）＞f'（x）•g（x），即f（x）g'（x）-f'（x）g（x）＞0，也就是[

f(x)

g(x)

]′=-

f(x)g′(x)-g(x)f′(x)

g2(x)

＜0，说明函数

f(x)

g(x)

=ax是减函数，
即0＜a＜1，故a=

1

2

，故a=

1

2

．
故答案为

1

2

点评：本题考查了应用导数判断函数的单调性，做题时应认真观察．