Question

已知函数f（x）=2cos²2x+2sin2xcos2x+1．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）求函数f（x）的最大值，并求取到最大值时的x的集合．

Answer 1

解：f（x）=2cos²2x+2sin2xcos2x+1=1+cos4x+sin4x+1=sin（4x+）+2，
（1）令2kπ-≤4x+≤2kπ+，k∈z，解得 ，k∈z，
函数f（x）的单调递增区间是[]，k∈z，
（2）由解析式知，函数的最大值为2+，此时有4x+=2kπ+，k∈z，解得x=，k∈z，
即函数f（x）的最大值为2+，取到最大值时的x的集合为{x|x=，k∈z}
分析：本题要先利用三角恒等变换公式，化简整理后，将f（x）=2cos²2x+2sin2xcos2x+1变为f（x）=sin（4x+）+2，
（1）由正弦函数的单调性，令相位属于正弦函数的增区间，解出x的取值范围，即得到函数的递增区间；
（2）由化简后的形式易得出最值，可令相位等于2kπ+，k∈z求出取到最大值时的x，写成集合形式即得
点评：本题考查三角恒等变换的应用，解题的关键是熟练掌握三角恒等变换的公式，以及利用正弦函数的性质求函数的单调区间，函数取到最值时的x的集合．本题是三角函数中的常规题型，近几年高考中这咱类型也比较常见，其步骤是先化简整理，再由公式进行求解，求单调区间，求最值等，此类题掌握好解题规律即可顺利解出，中档题．