Question

已知函数y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，f′（x）是f（x）的导函数，且当x＞0，f（x）+xf′（x）＞0，设a=（log 

1

2

4）f（log 

1

2

4），b=

2

f（

2

），c=（lg

1

5

）f（lg

1

5

），则a，b，c的大小关系是（　　）

A．c＞a＞b

B．c＞b＞a

C．a＞b＞c

D．a＞c＞b

Answer 1

分析：由已知想到构造函数F（x）=xf（x），求导后判断出其单调性，然后比较lg

1

5

，

2

，log

1

2

4的绝对值的大小，最后借助于F（x）是偶函数和其单调性得到答案．

解答：解：令F（x）=xf（x），
∵函数y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，∴F（x）为定义在实数集上的偶函数．
由F′（x）=f（x）+xf′（x），
∵当x＞0，f（x）+xf′（x）＞0，
∴F（x）在（0，+∞）上为增函数．
∵log

1

2

4=-2，lg

1

5

=-lg5，
∴|lg

1

5

|＜|

2

|＜|log

1

2

4|．
则F(lg

1

5

)＜F(

2

)＜F(log

1

2

4)．
即a＞b＞c．
故选：C．

点评：本题考查了不等关系与不等式，考查了导数的运算法则，训练了函数构造法，解答的关键是掌握偶函数的性质f（x）=f（|x|），是中档题．