Question

如图所示：已知过抛物线的焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点。

（1）求证：以AF为直径的圆与x轴相切；
（2）设抛物线在A，B两点处的切线的交点为M，若点M的横坐标为2，求△ABM的外接圆方程；
（3）设过抛物线焦点F的直线与椭圆的交点为C、D，是否存在直线使得，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）根据题意只要证明∴以线段AF为直径的圆与x轴相切
（2）
（3）。

试题分析：（1）解法一（几何法）设线段AF中点为，过作垂直于x轴，垂足为,则
 ，     2分
又∵，       3分
∴∴以线段AF为直径的圆与x轴相切。     4分 
解法二（代数法）设,线段AF中点为，过作垂直于x轴，
垂足为，则，
∴．      2分
又∵点为线段AF的中点，∴，     3分
∴，
∴以线段AF为直径的圆与x轴相切。     4分

（2）设直线AB的方程为，，
由 ，
∴．     5分
由，
，      6分
，故的外接圆圆心为线段的中点。
设线段AB中点为点P，易证⊙P与抛物线的准线相切，切点为点M ，
．  7分
 8分
又，
 ．     9分
（3），设，10分
则 ，设，则
       11分
将代入可得： ． ①     12分
由，
联立可得，②     13分
联立①②可得 ，解得．
。      14分
点评：主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运用，属于中档题。