Question

如图所示，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各条棱长均为a，D是侧棱CC₁的中点．
（1）求证：平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁；
（2）求异面直线AB₁与BC所成角的余弦值；
（3）求平面AB₁D与平面ABC所成二面角（锐角）的大小．

Answer 1

分析：（1）取AB₁的中点E，AB的中点F．连接DE、EF、CF．证明DE的平行线CF垂直平面ABB₁A₁，内的相交直线AB，BB₁，即可证明平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁；
（2）建立空间直角坐标系，求出cosθ=

| AB1 • BC |

| AB1 |•| BC |

中的相关向量，直接求异面直线AB₁与BC所成角的余弦值；
（3）求平面AB₁D的一个法向量，以及平面ABC的一个法向量，利用向量的数量积求平面AB₁D与平面ABC所成二面角（锐角）的大小．

解答：解：（1）证明：取AB₁的中点E，AB的中点F．连接DE、EF、CF．
故EF

∥ .

.

1

2

BB1．又CD

∥ .

.

1

2

BB1．
∴四边形CDEF为平行四边形，∴DE∥CF．又三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱．
△ABC为正三角形．CF?平面ABC，
∴CF⊥BB₁，CF⊥AB，而AB∩BB₁=B，∴CF⊥平面ABB₁A₁，
又DE∥CF，∴DE⊥平面ABB₁A₁．
又DE?平面AB₁D．所以平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁．（4分）

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则A(

3 a

2

，

a

2

，0)，C(0，a，0)，D(0，a，

a

2

)，B1(0，0，a)，B(0，0，0)
设异面直线AB₁与BC所成的角为θ，则cosθ=

| AB1 • BC |

| AB1 |•| BC |

=

2

4

，
故异面直线AB₁与BC所成角的余弦值为

2

4

，

（3）由（2）得

AB1

=(-

3a

2

，-

a

2

，a)，

AD

=(-

3a

2

，

a

2

，

a

2

)，
设n=（1，x，y）为平面AB₁D的一个法向量．
由

n• AB1 =(1，x，y)•(- 3a 2 ，- a 2 ，a)=0 n• AD =(1，x，y)•(- 3a 2 a 2 a 2 )=0

得，

x= 3 3 y= 2 3 3

，
即n=(1，

3

3

，

2 3

3

)（6分）
显然平面ABC的一个法向量为m（0，0，1）．
则cos?m，n＞=

|(1， 3 2 ， 2 3 3 )•(0，0，1)|

12+( 3 3 )2+( 2 3 3 )2

=

2

2

，故?m，n＞=

π

4

．
即所求二面角的大小为

π

4

．（14分）

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，异面直线及其所成的角，二面角及其度量，考查空间想象能力，计算能力，是中档题．