(1)求证:AB1∥平面BC1D;
(2)求异面直线AB1与BC1所成的角;
(3)求点A到平面BC1D的距离.
(1)证明:连结B1C交BC1于E,连结ED.?
∵B1BCC1是矩形且D为棱AC的中点,∴AB1∥ED.?
又AB1平面BC1D,ED
平面BC1D,∴AB1∥平面BC1D.?
(2)解析:由(1)知∠DEB是异面直线AB1与BC1所成的角,?
∵AB=BC=BB1=a,?
∴AC=a,BD=
a,BE=
a,AB1=
a.??
∵AB1∥ED,且D为棱AC的中点,?
∴DE=AB1=
a.?
在△BDE中,BD=BE=DE,?
∴∠DEB=60°.?
∴异面直线AB1与BC1所成的角为60°.?
(3)解析:∵D为棱AC的中点,∴点A到平面BC1D的距离与点C到平面BC1D的距离相等.?
设点C到平面BC1D的距离为h,?
∵VC—BC1D?=VC1—BCD?,?
∴S△BC1D?·h=
S△BCD?·CC1.?
∴h=.?
∵BD=a,BC1=
a,C1D=
a,?
∴BD2+C1D2=2a2=BC12.?
∴∠BDC1=90°.?
∴S△BC1D?=BD·C1D=
·
a·
a=
a2.?
又S△BCD?=BD·CD=
·
a·
a =
a2 ,CC1=a,?
∴h=.?
∴点A到平面BC1D的距离为a.
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