Question

如图所示，直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°,AC=1,AA₁=,点D是AB的中点.

（1）求证：CD⊥平面ABB₁A₁；

（2）求二面角A-A₁B-C的平面角的正切值;

（3）求三棱锥B₁—A₁BC的体积；

（4）求BC₁与平面A₁BC所成角的正弦值.

Answer 1

（1）证明:∵ABC—A₁B₁C₁是直三棱柱，?

∴面ABC⊥面AA₁B₁B,交线为AB.?

又∵△ABC是等腰三角形，∠ACB=90°,?∴CA=CB.?

又D是AB的中点，∴CD⊥AB.?

∴CD⊥平面AA₁B₁B.?

（2）解析：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC=.?

作DE⊥A₁B于E，连结CE.?

由（1）知，CD⊥面AA₁B₁B，∴CE在面AA₁B₁B内的射影是DE.?

由三垂线定理知CE⊥A₁B,?∴∠CED?是二面角C-A₁B-A的平面角.?

又∵D是AB中点，?

∴DE=DB=.?

又CD=AB=,?

在Rt△CDE中，tan∠CED=,故二面角A-A₁B-C的平面角的正切值为.?

（3）解析：由等积代换法得V_B1—A1BC=V_C—A1B1B?，∵AA₁B₁B是矩形，∴△AA₁B的面积等于△A₁B₁B的面积.?

∴V_C—A1B1B?=V_C—AA1B?=·S_△AA1B?·CD=.?

∴V_B1—A1BC?=.?

（4）解析：设C₁B与面A₁BC所成的角为θ,点C₁到平面A₁BC的距离为d.?

∴d=C₁B·sinθ.又由直三棱柱性质得C₁B=.?

C₁到面A₁BC的距离是以C₁为顶点,△A₁BC为底面的三棱锥C₁—A₁BC的高,∴V_C1—A1BC=V_B—A1C1C .?

∴△A₁C₁C的面积是矩形AA₁C₁C的面积的一半.?

∴S_△A1C1C?=.?

∵BC⊥AC，CC₁⊥BC，?

∴BC⊥面AA₁C₁C.?

∴V_B—A1C1C?=×S_△A1C1C ×BC=.?

又在△A₁BC中，A₁B==2，A₁C=,BC=1，BC⊥A₁C.?

∴S_△A1BC?=·A₁C·BC?

=.?

∴V_C1—A1BC?=.?

∴.?

∴d=.?

又d=C₁Bsinθ,即sinθ=,?

∴sinθ=,?

即BC₁与平面A₁BC所成角的正弦值为.