Question

16．如图，已知Rt△ABC中，AB=AC=$\sqrt{2}$，AD斜边BC上的高，以AD为折痕，将△ABD折 起，使∠BDC为直角．

（1）求证：平面ABD⊥平面BDC；
（2）求证：∠BAC=60°；
（3）求点A到平面BDC的距离；
（4）求点D到平面ABC的距离．

Answer 1

分析 （1）由原直角三角形中，AD是斜边BD上的高，得到AD与DB、DC都垂直，利用线面垂直的判定得到AD垂直于面BDC，由线面垂直的性质得到要证得结论；
（2）由原题给出的边的长度，通过解直角三角形分别求出三角形ABC三边的长度，然后利用余弦定理求解∠BAC的大小；
（3）证明AD⊥平面BDC即可判定AD是A到平面BDC的距离；
（4）取BC中点E，连结AE、DE后证明平面ADE和平面ABC垂直，在面ADE中作出D与平面ABC的垂线，在直角三角形ADE中，由等积法求得点D到平面ABC的距离．

解答 （1）证明：如图，
∵AD⊥BC，AD⊥DC，BD∩DC=D，
∴AD⊥平面BDC．
又AD?平面ABD，
∴平面ABD⊥平面BDC；
（2）证明：在原Rt△ABC中，AB=AC=$\sqrt{2}$，
∴BC=2，
∴BD=DC=1，又折叠后∠BDC=90°，
∴△BDC为等腰Rt△，
∴BC=$\sqrt{2}$，
∴AB=BC=AC，∴∠BAC=60°；
（3）在△ABC中，易得AD=$\frac{1}{2}$BC=1，
由（1）知AD⊥平面BDC，
即AD是A到平面BDC的距离，
即A到平面BDC的距离是1．
（4）解：取BC的中点E，
∵AB=AC，BD=DC，
∴DE⊥BC，AE⊥BC，
∴BC⊥平面ADE，过D点作DM⊥AE，则DM⊥平面ABC．
在Rt△ADE中，AD=1，DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴斜边AE上的高DM=$\frac{AD•DE}{AE}=\frac{1×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴D点到平面ABC的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了平面与平面垂直的判定，考查了点线面间距离的计算，考查了学生的空间想象能力和思维能力，解答的关键是对折叠问题折叠前后的变量与不变量的掌握，是中档题．