Question

8．设函数f（x）=x²-ax+ln（$\frac{1}{2}$ax+$\frac{1}{2}$）（a∈R）．
（1）若函数f（x）在x=$\frac{1}{2}$处取极值，求函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意的a∈（1，2），当x₀∈[1，2]时，都有f（x₀）＞m（1-a²），求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的导数，由题意可得f′（$\frac{1}{2}$）=0，解得a=2和-1，分别讨论当a=2，-1时，求出f（x）的导数，在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（2）对任意的a∈（1，2），当x₀∈[1，2]时，都有f（x₀）＞m（1-a²），等价于f（x₀）_min＞m（1-a²），用导数可求f（x₀）_min，构造函数g（a）=f（x₀）_min-m（1-a²）（1＜a＜2），问题转化为g（a）_min＞0（1＜a＜2），分类讨论可求出m的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=x²-ax+ln（$\frac{1}{2}$ax+$\frac{1}{2}$）的导数为f′（x）=2x-a+a•$\frac{1}{ax+1}$，
由题意可得f′（$\frac{1}{2}$）=0，即为1-a+a•$\frac{2}{a+2}$=0，
解得a=2或-1，
当a=2时，f′（x）=2x-2+$\frac{2}{2x+1}$=$\frac{2x（2x-1）}{2x+1}$，
由f′（x）＞0，解得x＞$\frac{1}{2}$或-$\frac{1}{2}$＜x＜0，由f′（x）＜0，解得0＜x＜$\frac{1}{2}$；
当a=-1时，f′（x）=2x+1+$\frac{1}{x-1}$=$\frac{x（2x-1）}{x-1}$（x＜1），
由f′（x）＞0，解得0＜x＜$\frac{1}{2}$；由f′（x）＜0，解得$\frac{1}{2}$＜x＜1或x＜0．
综上可得，当a=2时，f（x）的增区间为（$\frac{1}{2}$，+∞），（-$\frac{1}{2}$，0），减区间为（0，$\frac{1}{2}$）；
当a=-1时，f（x）的增区间为（0，$\frac{1}{2}$），减区间为（$\frac{1}{2}$，1），（-∞，0）；
（2）y=f（x）的定义域为（-$\frac{1}{a}$，+∞）．
f′（x）=2x-a+$\frac{a}{ax+1}$=$\frac{2a{x}^{2}-（{a}^{2}-2）x}{ax+1}$=$\frac{2ax（x-{a}^{2}+2）}{ax+1}$．
当1＜a＜2时，$\frac{{a}^{2}-2}{2a}$-1=$\frac{{a}^{2}-2a-2}{2a}$=$\frac{（a-1）^{2}-3}{2a}$＜0，即$\frac{{a}^{2}-2}{2a}$＜1，
所以当1＜x＜2时，f′（x）＞0，f（x）在[1，2]上单调递增，
所以f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=1-a+ln（$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{2}$）．
依题意，对任意的a∈（1，2），当x₀∈[1，2]时，都有f（x₀）＞m（1-a²），
即可转化为对任意的a∈（1，2），1-a+ln（$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{2}$）-m（1-a²）＞0恒成立．
设g（a）=1-a+ln（$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{2}$）-m（1-a²）（1＜a＜2）．
则g′（a）=-1+$\frac{1}{a+1}$+2ma=$\frac{2m{a}^{2}+（2m-1）a}{a+1}$=$\frac{a[2ma-（1-2m）]}{a+1}$，
①当m≤0时，2ma-（1-2m）＜0，且$\frac{a}{a+1}$＞0，所以g′（a）＜0，
所以g（a）在（1，2）上单调递减，且g（1）=0，则g（a）＜0，与g（a）＞0矛盾．
②当m＞0时，g′（a）=$\frac{2ma}{a+1}$（a-$\frac{1-2m}{2m}$），
若$\frac{1-2m}{2m}$≥2，则g′（a）＜0，g（a）在（1，2）上单调递减，
且g（1）=0，g（a）＜0，与g（a）＞0矛盾；
若1＜$\frac{1-2m}{2m}$＜2，则g（a）在（1，$\frac{1-2m}{2m}$）上单调递减，在（$\frac{1-2m}{2m}$，2）上单调递增，
且g（1）=0，g（a）＜g（1）=0，与g（a）＞0矛盾；
若$\frac{1-2m}{2m}$≤1，则g（a）在（1，2）上单调递增，且g（1）=0，
则恒有g（a）＞g（1）=0，所以 m＞0且$\frac{1-2m}{2m}$≤1，
解得m≥$\frac{1}{4}$，
所以m的取值范围为[$\frac{1}{4}$，+∞）．

点评 本题考查综合运用导数求函数的单调区间、最值及函数恒成立问题，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，考查分类讨论思想的运用．