Question

9．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC=6，EC=6，则AD的长为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 连接DE，证明△DBE∽△CBA，利用AB=2AC，结合角平分线性质，即可证明BE=2AD，根据割线定理得BD•BA=BE•BC，从而可求AD的长．

解答 解：连接DE，
∵ACED是圆内接四边形，
∴∠BDE=∠BCA，
又∠DBE=∠CBA，∴△DBE∽△CBA，即有$\frac{BE}{BA}=\frac{DE}{CA}$，
又∵AB=2AC，∴BE=2DE，
∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE，
∴BE=2AD，
设AD=t，则BE=2t，BC=2t+6，
根据割线定理得BD•BA=BE•BC，
即（6-t）×6=2t•（2t+6），即2t²+9t-18=0，
解得t=$\frac{3}{2}$或-6（舍去），则AD=$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查三角形相似，考查角平分线性质、割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．