Question

4．已知函数f（x）=t（$\frac{1}{x}$-1）+lnx，t为常数，且t＞0．
（1）若曲线y=f（x）上一点（$\frac{1}{2}$，y₀）处的切线方程为y+2x+ln2-2=0，求t和y₀；
（2）若f（x）在区间[1，+∞）上是单调递增函数，求t的取值范围；
（3）当t=1时，证明：1-$\frac{1}{x}$≤lnx≤x-1．

Answer 1

分析 （1）首先求出函数的导数，然后根据条件列方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}+2×\frac{1}{2}+ln-2=0}\\{f′（\frac{1}{2}）=-2}\end{array}\right.$，并解方程组即可求出结果；
（2）由f（x）在区间[1，+∞）上是单调递增函数⇒f'（x）≥0在x∈[1，+∝）上恒成立，然后分离参数t≤x恒成立，进而根据x≥1，求出t的范围．
（3）当t=1时，由函数f（x）在区间[1，+∞）上是单调递增函数，f（1）=0，可得f（x）≥0，即1-$\frac{1}{x}$≤lnx 成立．再根据m（x）=x-1-lnx在区间[1，+∞）上是单调递增函数，m（1）=0，可得m（x）≥0，即lnx≤x-1．综合即可证得结论．

解答 解：（1）∵函数f（x）=t（$\frac{1}{x}$-1）+lnx，t为常数，且t＞0，∴f'（x）=$\frac{x-t}{{x}^{2}}$（x＞0）．
由题意知$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}+2×\frac{1}{2}+ln-2=0}\\{f′（\frac{1}{2}）=-2}\end{array}\right.$，求得$\left\{\begin{array}{l}{t=1}\\{{y}_{0}=1-ln2}\end{array}\right.$．
（2）若f（x）在区间[1，+∞）上是单调递增函数，
则f'（x）≥0在x∈[1，+∝）上恒成立，即t≤x恒成立．
∵x≥1，∴t≤1．
又∵t＞0，∴0＜t≤1．
（3）当t=1时，∵函数f（x）=$\frac{1}{x}$-1+lnx在区间[1，+∞）上是单调递增函数，f（1）=0，
∴f（x）≥0，即1-$\frac{1}{x}$≤lnx 成立．
再根据m（x）=x-1-lnx在区间[1，+∞）上是单调递增函数，m（1）=0，∴m（x）≥0，
即lnx≤x-1．
综上可得，1-$\frac{1}{x}$≤lnx≤x-1．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性，以及求切线方程，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于难题．