Question

16．三棱柱A的直观图（图1）及三视图（图2）（主视图和俯视图是正方形，左视图是等腰直角三角形）如图所示，A为A的中点．
（Ⅰ）求证：B₁C⊥平面BAC₁；
（Ⅱ）求平面C₁BA与平面C₁BD的夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先证明AB⊥平面C₁B₁BC，可得AB⊥B₁C，利用BC₁⊥B₁C，即可证明：B₁C⊥平面BAC₁；
（Ⅱ）补成正方体，得∠O₁OS为二面角的平面角，即可求平面C₁BA与平面C₁BD的夹角的余弦值

解答 解：（Ⅰ）由三视图可知，几何体为直三棱柱．
∵AB⊥BC，BB₁⊥AB，BC∩BB₁=B，
∴AB⊥平面C₁B₁BC，∴AB⊥B₁C，…（4分）
在正方形BB₁C₁C中，BC₁⊥B₁C，…（5分）
又∵BC₁?平面ABC₁，AB?平面ABC₁，BC₁∩AB=B，
∴B₁C⊥平面ABC₁．…（6分）
（Ⅱ）如图补成正方体，得∠O₁OS为二面角的平面角，${O_1}O=2，{O_1}S=\sqrt{2}$，
∴$cos∠{O_1}OS=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴平面C₁BA与平面C₁BD的夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．