Question

11．设数列a₁、a₂、…、a_n中的每一项都不为0，求证：
（1）若{a_n}成等差数列，则$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{n}{{a}_{1}{a}_{n+1}}$；
（2）若$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{n}{{a}_{1}{a}_{n+1}}$，则{a_n}成等差数列．

Answer 1

分析 （1）由{a_n}成等差数列，设公差为d，则$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}=\frac{1}{d}（\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}）$，利用“裂项求和”即可证明；
（2）利用数学归纳法与等差数列的通项公式即可证明．

解答 证明：（1）∵{a_n}成等差数列，设公差为d，则$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}=\frac{1}{d}（\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}）$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{d}[（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2}}）+（\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{3}}）$+…+$（\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}）]$=$\frac{1}{d}（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}）$=$\frac{1}{d}•\frac{{a}_{n+1}-{a}_{1}}{{a}_{1}{a}_{n+1}}$=$\frac{n}{{a}_{1}{a}_{n+1}}$；
∴$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{n}{{a}_{1}{a}_{n+1}}$；
（2）利用数学归纳法证明：
（i）当n=2时，∵$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$=$\frac{2}{{a}_{1}{a}_{3}}$，∴a₁+a₃=2a₂，∴a₁，a₂，a₃成等差数列；
（ii）假设n≤k（k≥2），{a_k+1}成等差数列．
则当n=k+1时，$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{k}{a}_{k+1}}+\frac{1}{{a}_{k+1}{a}_{k+2}}$=$\frac{k}{{a}_{1}{a}_{k+1}}+\frac{1}{{a}_{k+1}{a}_{k+2}}$=$\frac{k+1}{{a}_{1}{a}_{k+2}}$，
化为ka_k+2+a₁=（k+1）a_k+1，
∴ka_k+2=（k+1）[a₁+kd]-a₁，
化为a_k+2=a₁+（k+2-1）d，
因此当n=k+1时，数列{a_k+2}成等差数列．
综上可得：?n∈N^*，（n≥3），数列{a_n}成等差数列．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其性质、数学归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．