Question

20．已知数列{a_n}满足：a₁=1，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\sqrt{\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}+4}$，n∈N^*，其前n项和为S_n．
（1）求证：数列{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$}是等差数列；
（2）设数列{b_n}的前n项和为T_n，且满足：$\frac{{T}_{n+1}}{{{a}_{n}}^{2}}$=$\frac{{T}_{n}}{{{a}_{n+1}}^{2}}$+16n²-8n-3．试确定b₁的值，使得数列{b_n}为等差数列．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\sqrt{\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}+4}$，n∈N^*，两边平方化简可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}}-\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=4，即可证明；
（2）由（1）可得$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=4n-3．于是$\frac{{T}_{n+1}}{{{a}_{n}}^{2}}$=$\frac{{T}_{n}}{{{a}_{n+1}}^{2}}$+16n²-8n-3，化为$\frac{{T}_{n+1}}{4n+1}-\frac{{T}_{n}}{4n-3}$=1，利用等差数列的通项公式可得：$\frac{{T}_{n}}{4n-3}$=b₁+n-1，即T_n=（b₁+n-1）（4n-3），当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1，化为b_n=4b₁+8n-11，取n=1即可得出．

解答 （1）证明：∵a₁=1，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\sqrt{\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}+4}$，n∈N^*，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}}-\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=4，
∴数列{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$}是等差数列，首项为1，公差为4；
（2）解：由（1）可得$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=1+4（n-1）=4n-3．
∵$\frac{{T}_{n+1}}{{{a}_{n}}^{2}}$=$\frac{{T}_{n}}{{{a}_{n+1}}^{2}}$+16n²-8n-3，∴（4n-3）T_n+1=（4n+1）T_n+16n²-8n-3，
∴$\frac{{T}_{n+1}}{4n+1}-\frac{{T}_{n}}{4n-3}$=1，
∴数列$\{\frac{{T}_{n}}{4n-3}\}$是等差数列，首项为T₁，公差为1．
∴$\frac{{T}_{n}}{4n-3}$=b₁+n-1，
∴T_n=（b₁+n-1）（4n-3），
当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=（b₁+n-1）（4n-3）-（b₁+n-2）（4n-7），
化为b_n=4b₁+8n-11，
若数列{b_n}为等差数列，则上式对于n=1时也成立，
∴b₁=4b₁-3，解得b₁=1．
∴b_n=8n-7为等差数列．
∴b₁=1．

点评 本题考查了等差数列的定义通项公式及其前n项和公式，考查了变形能力与计算能力，属于中档题．